Une proposition de recherche modeste pour l'enseignement des mathématiques

Des milliers, voire des millions de mots ont été écrits, en faveur d'une approche de «retour aux sources» de l'enseignement des mathématiques ou en faveur d'une approche plus «constructiviste». Ce débat est polarisé, politique et parfois vicieux, mais il est nécessaire. Ce débat se déroule dans le va-et-vient constant entre les anciennes approches curriculaires (qu'est-ce qui a fonctionné? Qu'est-ce qui n'a pas fonctionné?) Et la nécessité de continuer à les actualiser à mesure que nous progressons.

Pour les éducateurs en mathématiques, ce débat ne se termine jamais. À son stade le plus réducteur, nous avons un cycle médiatique constant qui réduit l’enseignement et l’apprentissage des mathématiques pour tester les scores, et nous aspirons souvent à un passé dans lequel les étudiants étaient plus compétents en tableaux de temps et en chiffres. La démarche réductrice argumentative de «l’autre côté» consiste à se moquer de l’enseignement des mathématiques passé pour avoir formé des apprenants «zombies» capables de peu plus que reproduire des formules et des algorithmes lors de tests.

D’une part, nous avons une perte réelle ou perçue de «compétences de base», ce qui se traduit habituellement par un rappel instantané du débat, et d’autre part, nous pensons que nos étudiants ne sont pas assez bons en résolution de problèmes le «monde moderne» ou pour «le futur».

Il est très intéressant de noter que ce débat a plusieurs générations.

Plus ca change?

Le sentiment décrit dans l'image ci-dessous a été publié en 1991. Une génération plus tard, et nous sommes apparemment toujours bloqués, nous nous retrouvons dans la boue du même débat.

L’enseignement et l’apprentissage des mathématiques ont progressé à bien des égards depuis 1989, année du début de la réforme de la NCTM. Il a également progressé à bien des égards depuis les années 1960, lorsque les premiers programmes d’études «New Math» ont été mis à l’essai (puis abandonnés). Ce qui semble être une voie cohérente de bricolage, voire une réforme manquée, est en réalité un raffinement continu de la pratique pédagogique. C'est-à-dire que l'amélioration du programme et de la pratique est subtile, mais constante. Enseigner lui-même est un art itératif. Les dichotomies polarisantes sont destinées aux politiciens et non aux enseignants.

Les enseignants sont les meilleurs pour enseigner. C'est leur art et leur artisanat. En termes simples: la connaissance incorporée des mathématiques et de la manière de l’enseigner évolue et se met à jour constamment, au fur et à mesure que de nouveaux enseignants s’engagent dans la profession et que les plus âgés la quittent. Il y a un taux de changement constant et constant, même s'il est lent. Le temps avance, et nous aussi.

Mais la recherche peut informer l'enseignement. Cet article tente de montrer la voie à suivre pour les futurs types de recherche susceptibles d’informer les enseignants sur la pratique de l’enseignement des mathématiques.

Une fausse dichotomie?

H. Wu (1999) a publié un article intéressant dans lequel le débat sur la compréhension conceptuelle des compétences de base s'apparentait à une «fausse dichotomie».

Une longue citation aidera à faire valoir ce point:

Dans l’enseignement des mathématiques, ce débat prend la forme de «compétences de base ou de compréhension conceptuelle». Cette fausse dichotomie semblerait résulter d’une fausse idée commune des mathématiques défendue par un segment du public et de la communauté éducative: que la demande de précision et de fluidité dans l'exécution des compétences de base en mathématiques scolaires, cela va à l'encontre de l'acquisition de la compréhension conceptuelle. La vérité est qu’en mathématiques, compétences et compréhension sont complètement liées. Dans la plupart des cas, la précision et la fluidité dans l'exécution des compétences sont les véhicules nécessaires pour transmettre la compréhension conceptuelle. Il n'y a pas de "compréhension conceptuelle" et de "compétences en résolution de problèmes" d'une part, ni de "compétences de base" de l'autre.

L'auteur met clairement en question le mythe, qui est omniprésent, selon lequel la compréhension conceptuelle * doit * venir avant. Considérez à la fois que la compréhension procédurale (ce que nous pourrions généralement appeler des compétences «de base») et la compréhension conceptuelle sont imbriquées, ou imbriquées - comme une épaisse tresse de corde, où les deux brins sont parfaitement tissés.

J'estime que les éducateurs, les chercheurs et les rédacteurs d'articles de journaux doivent renoncer à la conviction que l'un doit précéder l'autre. Les travaux de recherche futurs pourraient tester l'acquisition de ce que l'on pourrait généralement appeler la «condition procédurale» et la «condition conceptuelle».

Donnons un exemple apparemment simple d’enseignement de la relation de Pythagore.

Considérez deux groupes d’élèves, en suivant les deux chemins d’enseignement suivants.

Chemin pédagogique 1

  1. Écrivez la formule au tableau. Explique comment cette formule fonctionne.
  2. Donnez aux élèves une série de questions à travailler. Montrez-leur comment résoudre le problème de l'hypoténuse.
  3. Variez les questions en demandant aux élèves de résoudre l'une ou l'autre jambe.
  4. Aborder les idées fausses et les problèmes.
  5. Donnez aux élèves des problèmes plus compliqués et évaluez-les sur leur compréhension.

Chemin d'enseignement deux

  1. Montrez aux élèves une preuve géométrique du théorème. Demandez-leur de fixer des carrés sur les côtés des triangles rectangles. Examinez la relation que vous trouvez.
  2. Traduisez vos découvertes en algèbre. La “photo” créée par la représentation géométrique est traduite en forme algébrique.
  3. Montrez aux élèves comment travailler la formule. Donnez-leur des questions à pratiquer.

4. Donner aux élèves des problèmes plus compliqués et les évaluer sur leur compréhension.

La différence substantielle ici est l'élément géométrique dans le deuxième chemin. Mais cet élément pourrait être intégré au premier chemin d’enseignement, peut-être plus tard.

Vous pouvez décider vous-même où l'invite suivante appartient au cheminement pédagogique. Vers le début? Lors de l'exploration du théorème? Ou à la fin, comme un moyen de pousser la pensée des étudiants, après avoir maîtrisé l’algèbre?

Notre question de recherche pourrait être la suivante: ces deux groupes d’étudiants comprendront-ils la relation de Pythagore de la même manière et avec la même profondeur? Si nous pouvons tirer une conclusion ferme de notre étude, nous pourrions alors aborder les aspects procéduraux ou conceptuels, sinon nous pourrions conclure que les objectifs des deux groupes sont à peu près égaux. À noter ici: les deux chemins ont ce qu’on appelle des éléments procéduraux et conceptuels. Il y a un réel va-et-vient entre eux.

Un va-et-vient ou une itération entre compréhension procédurale et conceptuelle

Si nous faisons des va-et-vient, entre compréhension procédurale et compréhension conceptuelle, pendant une certaine période d'enseignement, il n'y a pas d'obstacles absolus entre ces deux catégories.

Un article de Rittle-Johnson, Siegler et Alibali (2001) souligne utilement ce point et indique peut-être la voie à suivre pour les recherches futures. Ils notent que, de manière générale, nous considérons qu'un «type» de connaissance constitue un précédent par rapport à l'autre. Les auteurs estiment qu'il n'est pas nécessaire que ce soit le cas et qu'il est inutile de le faire:

Contrairement à ces recherches et théories antérieures, nous proposons que tout au long du développement, les connaissances conceptuelles et procédurales s’influencent mutuellement. Plus précisément, nous proposons que les connaissances conceptuelles et procédurales se développent de manière itérative, l’augmentation d’un type de connaissances conduisant à celle de l’autre type de connaissances, ce qui entraîne de nouvelles augmentations dans le premier.

Le plan de l'étude (en deux parties, n = 74 et n = 59) consistait à faire en sorte que les étudiants placent des fractions décimales (nombre décimal inférieur à 1) sur une droite numérique. Ils ont qualifié cette tâche de procédure. Leurs conclusions étaient que les connaissances procédurales éclairaient les connaissances conceptuelles, et inversement. Le plus excitant, les deux semblaient soutenir une meilleure représentation des problèmes.

La représentation est un acte de pensée; les étudiants doivent avoir des façons de penser aux concepts mathématiques. Notre objectif est plus que de pouvoir simplement exécuter une procédure ou simplement penser de manière générale à des concepts mathématiques. Nous devons amener les concepts à exister dans le monde. Comme le notent les auteurs, la connaissance du domaine contient à la fois des compétences et des concepts.

L’étude suggère que la représentation est complexe. Une procédure, par exemple, peut être pensée, et elle peut et devrait être expliquée et représentée. Traiter une procédure comme une «chose» distincte d'un concept, par exemple, est probablement une mauvaise chose. L'algorithme standard de multiplication est lié aux notions de valeur de position et de prise de produits partiels, qui sont ensuite totalisés. Il n’existe aucune raison pour que l’enseignement de cette procédure ne soit pas un concept de processus itératif et une compétence liée à ce que nous appelons «apprendre l’algorithme».

Les futures études de ce type pourraient chercher à explorer plus avant comment se passe cette itération. Comment les procédures et les concepts fonctionnent-ils ensemble, pas les uns contre les autres? Accepter qu'ils ne doivent pas travailler les uns contre les autres et qu'ils peuvent et doivent travailler ensemble serait un début.

Comment les procédures et les concepts fonctionnent-ils ensemble pour créer une compréhension mathématique?

Seul le dichotomiste le plus hardcore s'opposerait à l'idée qu'il existe un terrain d'entente à trouver. C'est sur ce terrain d'entente qu'un jour l'armistice de la «guerre des mathématiques» sera signé. Ou, du moins, nous aurons de meilleures et plus de recherches montrant qu'il est même possible de se rencontrer sur un terrain commun.

Références:

Rittle-Johnson, B., Siegler, R.S. et Alibali, M. W. (2001). Développer la compréhension conceptuelle et les compétences procédurales en mathématiques: un processus itératif. Journal of Educational Psychology, 93 (2), 346–362.

http://dx.doi.org/10.1037/0022-0663.93.2.346

Wu, H. Compétences de base versus compréhension conceptuelle. Une dichotomie factice dans l'enseignement des mathématiques. American Educator, v23 n3 p14–19,50–52 automne 1999

https://math.berkeley.edu/~wu/wu1999.pdf