La mesure d'irrationalité de vue à travers les yeux du cosinus

Il y a quelque temps, au cours de ma première année d'études de premier cycle, j'ai rédigé avec mon professeur, Erin PJ Pearse, un article détaillant de longues preuves sur la relation entre certaines séquences de la fonction trigonométrique du cosinus et sa relation avec ce que l'on appelle «l'irrationalité». mesure ”de. Beaucoup de mes amis / pairs sont curieux à propos de ce papier en particulier, parce que le gros de ce papier ressemble à un non-sens inintelligible pour un œil non averti. En réalité, beaucoup de concepts et de résultats sous-jacents au document sont très abordables avec un minimum de mathématiques au niveau secondaire! Le théorème principal de l'article est le suivant:

Beurk!

Certes, c'est un morceau de maths intimidant, mais j'étais vraiment sérieux: vous n'avez besoin que d'une éducation en mathématiques au niveau secondaire pour le comprendre! Alors, décomposons cela, avec quelques informations de base pour commencer.

Quels genres de chiffres y a-t-il?

Cela semble être une question très large, mais c’est un moyen relativement simple de classer la plupart des numéros que vous rencontrez quotidiennement.

Commençons par les nombres naturels. Les nombres naturels sont essentiellement les nombres que vous utilisez pour compter les arrangements d'objets; Je peux avoir une pomme, deux pommes, trois pommes… et ainsi de suite. Que vous incluiez ou non zéro en tant que nombre naturel est laissé principalement à vos préférences personnelles - certains considèrent l'ensemble des nombres naturels avec zéro en tant que nombres entiers.

Ensuite, nous avons les entiers, qui sont fondamentalement les mêmes que les naturels mais incluent également les naturels négatifs (… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…).

À un autre niveau, nous avons les nombres rationnels: en gros, tout nombre pouvant être représenté comme une fraction. Notez que cela inclut toutes les catégories mentionnées précédemment, puisqu'un nombre entier ou naturel peut simplement être écrit sous la forme d'un nombre divisé par 1 (par exemple, 3 = 3/1, 123 = 123/1). Il comprend également de nombreux nombres décimaux, en particulier des nombres décimaux qui se terminent ou se répètent périodiquement (par exemple 0,3333333… = 1/3, 0,0625 = 1/16).

En plus de cela, nous avons les nombres irrationnels, qui sont des nombres décimaux qui ne se terminent pas ou ne se répètent pas périodiquement. C’est un peu plus difficile à penser, car il n’ya pas de bonne analogie avec le monde réel (quand était la dernière fois que vous avez eu √2 pommes?), Mais supportez-moi. Pour le reste de cet article, considérez simplement les nombres irrationnels comme des nombres qui ne peuvent pas être mis sous forme de fraction (comme le peuvent les rationnels).

La hiérarchie des nombres. La source

Il existe BEAUCOUP plus de catégories de nombres (algébriques, transcendantaux, complexes, hypercomplexes, transfinis, hyperréaux, surréels, etc.) et chacun mérite vraiment un article en soi, mais ce que nous avons défini jusqu’à présent est suffisant.

Se rapprocher…

Parlons maintenant d’une autre idée importante. Rappelez-vous quand j'ai dit que les nombres irrationnels incluent tous les nombres qui ne peuvent pas être représentés par des nombres rationnels (c'est-à-dire des fractions)? Eh bien, il s'avère que pour tout nombre irrationnel, vous pouvez «choisir» un nombre rationnel aussi proche que vous le souhaitez de ce nombre irrationnel. Laissez-moi vous montrer ce que cela signifie avec quelques exemples.

Prenons un nombre irrationnel, la racine carrée de 2, qui est 1,414213562… et essayons de trouver des nombres rationnels qui en sont proches. Par exemple, 3/2 = 1.5 est assez proche de 1.41421356237…, en fait, il n’est différent que de 6%! Mais nous pouvons faire mieux - infiniment mieux, en fait. Et si au lieu de 3/2, nous choisissions quelque chose comme 141/100 = 1.41? C’est seulement 0,03%. Qu'en est-il de 1414/1000? C'est à 0.02%! Vous pouvez probablement voir où je veux en venir. En gros, prenez autant de nombres dans la représentation décimale du nombre irrationnel que vous voulez approximer, tronquez-les et divisez-les par la puissance correspondante de 10, et boum, vous avez choisi un rationnel. nombre arbitrairement proche de ce nombre irrationnel!

Certains nombres irrationnels sont plus rationnels que d'autres

Nous venons d’apprendre que nous pouvons approximer arbitrairement tout nombre irrationnel avec tout nombre rationnel, mais cela ne signifie pas qu’il soit efficace de le faire pour chaque nombre. Rappelez-vous l'exemple avec la racine carrée de 2? Supposons que nous voulions nous situer à moins de 0,0000002% de la racine carrée de 2 en utilisant la méthode décrite précédemment. Eh bien, nous n’aurions pas besoin de faire une fraction assez méchante pour y arriver: 141421356/100000000. Ce n’est pas le cas pour tous les numéros! Jetez un oeil à ce numéro: 1.100100001001000000001…, que nous construisons en commençant par 1.1, puis en ajoutant deux zéros et un un à la fin (1.1001), puis en ajoutant quatre zéros et un (1.100100001), puis en ajoutant huit zéros et un (1.100100001000000001), et ainsi de suite à l'infini. Si nous voulions approximer ce nombre avec une précision de 0,0000002%, nous pourrions le faire avec une fraction infime: 11001/10000.

Il semble donc que certains nombres irrationnels ont besoin de fractions «plus compliquées» pour bien les approcher que d'autres. En un sens, la fraction la moins compliquée nécessaire pour approcher un nombre irrationnel est d'autant plus «rationnelle» que ce nombre est, puisque ce nombre se trouve être très proche d'un nombre «gentil» rationnel. En fait, il existe une définition mathématique précise de la «mesure d'irrationalité», qui définit le degré de rationalité d'un nombre dans le sens mentionné précédemment. La définition elle-même est un peu compliquée, et je vous encourage à en lire plus si vous êtes intéressé, mais elle mesure essentiellement comment la taille du dénominateur (partie inférieure) de la fraction grandit à mesure que l'approximation du nombre irrationnel s'améliore.

Parlons de cosinus maintenant

Comme vous vous en souvenez peut-être depuis le lycée, le cosinus est une fonction périodique qui peut être définie, en bref, par la coordonnée x du cercle unitaire à différents angles, comme le montre bien le GIF ci-dessous.

La source

Pour ceux qui se souviennent un peu plus du cosinus, rappelez-vous que la valeur du cosinus n’est égale à 1 que pour les valeurs d’angle 0, 2𝜋, 4𝜋, 6𝜋… et ainsi de suite. En regardant en arrière le diagramme des cercles d'unités, c'est parce que les seules fois où le cosinus est plat, positivement horizontal, sont à des positions correspondant à zéro degré ou des multiples entiers de 360 ​​° (2𝜋 radians).

Pour des raisons un peu au-delà de la portée de cet article à prouver (mais sont en fait plutôt intuitifs), il n'existe aucune valeur entière (autre que zéro) pour laquelle cosinus est égal à 1 (par exemple: cos (1) ≈ 0.5403, cos (2) -0,4161, cos (3) -0,6536…). Pourtant, de la même manière que nous pouvons approcher n'importe quel nombre irrationnel arbitrairement bien avec des nombres rationnels, nous pouvons choisir un entier qui ramène le cosinus arbitrairement près de 1 (par exemple: cos (377) = 0,99996). Cela aussi découle de manière quelque peu intuitive de ce que nous avons discuté précédemment. Vous remarquerez peut-être qu’une question très similaire à celle que nous avons posée précédemment se pose: pour obtenir un cosinus très proche de 1, quel nombre doit-on choisir? Par exemple, le cosinus de 43042119 est si proche de 1 qu'il ne diffère que d'environ un milliardième de pour cent!

Une séquence quelque peu arbitraire

Maintenant, faisons quelque chose d’un peu drôle. Prenez le cosinus d'un nombre, n, et multipliez le résultat par lui-même n fois (c'est-à-dire cos (n) ⁿ). N'oubliez pas que lorsque vous multipliez un nombre positif inférieur à 1 par un autre nombre positif inférieur à un, le résultat obtenu est un nombre encore inférieur aux nombres d'origine (par exemple, 0,5 * 0,3 = 0,15). Alors, bien sûr, si nous prenons un nombre comme cos (377), qui est inférieur à 1, et le multiplions par lui-même 377 fois, nous devrions nous retrouver avec un très petit nombre, non? Étonnamment, parfois nous ne le faisons pas. En fait, cos (377) ³⁷⁷ est approximativement égal à 0,985, différent de moins de 2% de cos (377).

C'est un peu surprenant, et en fait, nous pouvons trouver de nombreux autres exemples où cela est vrai! Les nombres semblent distribués de manière quelque peu aléatoire, mais lorsque nous tracés cos (n) ⁿ, quelque chose de magique se produit:

Ceci est une seule parcelle, bien qu’elle ressemble à une composition de nombreuses courbes différentes!

Qu'est-ce qui se passe dans le monde ici? Cela ressemble à un tas de courbes aléatoires mélangées, mais il a été produit à partir d'une seule équation: cos (n) ⁿ. De plus, il semble qu'il n'y ait pas de fin au nombre d'entiers que nous pouvons choisir dans lesquels cos (n) ⁿ est encore proche de 1!

Chaque pic rouge est un entier qui amène cos (n) très proche de 1. Notez que l’échelle de l’axe des x est 100000 par tick!

Et maintenant, d'autres questions se posent: y a-t-il une infinité de nombres qui amènent cos (n) assez proche de 1? Si oui, pourquoi? Quelles sont ces courbes étranges dans le premier graphique et pourquoi apparaissent-elles? Peut-on isoler et décrire mathématiquement ces courbes?

Ça va plus loin…

En bref, la réponse aux questions précédentes est respectivement: oui, c’est compliqué, c’est compliqué, et oui.

Nous décrivons dans notre article une multitude de théorèmes et de preuves qui répondent à toutes ces questions en détail (vérifiez si c'est le cas!), Mais ils sont plutôt impliqués et sortent du cadre de cet article. C'est plutôt ce que nous avons trouvé en cherchant ces réponses qui constitue le véritable intérêt et le véritable objectif du document. Comme mentionné plus haut, nous pouvons choisir un nombre infini de nombres qui amènent cos (n) ⁿ arbitrairement près de 1, mais saviez-vous que vous pourriez également trouver un nombre infini de nombres amenant cos (n) ^ (n ^ 1,5) près de 1? Et même cos (n) ^ (n ^ 1.99999) proche de 1? Cependant, nous avons du mal à trouver beaucoup de nombres qui rapprochent 1 de cos (n) ^ (n²) (bien que nous ne puissions pas le prouver pour le moment). Pourquoi??

Nous avons montré dans cet article que la mesure d'irrationalité de π est directement liée au fait de pouvoir choisir un nombre infini de nombres qui amènent cos (n) ^ (n ^ quelque chose) très proche de 1. En fait, nous montrons que la mesure d'irrationalité de π est exactement égale à 2 * quelque chose -2. Où quelque chose est le plus grand nombre auquel nous pouvons encore trouver une infinité de nombres qui amènent cos (n) ^ (n ^ quelque chose) vraiment proche de 1.

Nous prouvons d’autres résultats intéressants, notamment le fait que nous pouvons choisir un nombre infini d’entiers qui rapprochent arbitrairement cos (n) ^ (n²) d’environ 0,6065, ou que nous pouvons trouver des séquences arbitrairement longues d’entiers équidistants (ie arithmétiques). progressions) qui sont vraiment proches de 1 dans des conditions spéciales de notre séquence cosinus.

Conclusion

J'espère que cela jette un peu la lumière sur le contenu de cet article et sur la complexité incroyable des choses simples, comme cos (n)!

Je n'aurais pas pu écrire cet article sans l'aide de ma brillante professeure, la Dre Erin PJ Pearse, actuellement professeure de mathématiques à l'Université polytechnique de Californie, à San Luis Obispo, et je suis extrêmement reconnaissante d'avoir pris le temps de guide-moi et guide-moi à travers ce processus!